предыдущая
следующая
|
|
предыдущая |
|
следующая |
|
оглавление |
М.: Издательство “Весь Мир”, 1997. – 544 с.
Красным шрифтом в квадратных скобках обозначается конец текста
на соответствующей странице печатного оригинала указанного издания
Ф.А. Шродт*
17. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
|
|
Социальные и природные события в равной степени поддаются счету, и для сведения всего в природе к законам, подобным тем, которые открыл Ньютон с помощью дифференциального исчисления, все, что нужно, – это достаточное число наблюдений и развитые математические средства.
Маркиз де Кондорсе, ок.1790
Различие между международной политикой в ее нынешнем состоянии и производной от нее рациональной теорией подобно различию между фотографией и живописным портретом. Фотография отображает все видимое невооруженным глазом; живописный портрет отображает не все видимое невооруженным глазом, но зато он отображает – или по меньшей мере тщится отобразить – одну невидимую невооруженным глазом вещь: человеческую сущность изображенного на нем лица.
X. Дж. Моргентау, 1967 |
Математическая модель – это упрощенный вариант действительности, используемый для изучения ее ключевых свойств. Чарльз Лейв и Джеймс Марч дают такое определение модели: “Модель – это упрощенная картина реального мира. Она обладает некоторыми, но не всеми свойствами реального мира. Она представляет собой множество взаимосвязанных предположений о мире. Как и любая картина, модель проще тех явлений, которые она по замыслу отображает или объясняет”1.
За прошедшее столетие математика стала широко использоваться в социальных науках и ныне применяется фактически во всех разделах политологии – от вопросов заключения контрактов на использование городского гаража до проблемы предотвращения ядерной войны.
Математическую модель можно во многих отношениях уподобить масштабной модели самолета или макету здания. У модели самолета или макета здания нет многих черт их полномасштабных прототипов: они меньше размерами, многие детали в них выполнены весьма неточно, и многие элементы внутреннего устройства настоящего [c.466] самолета или здания в модели отсутствуют. Но модель, тем не менее, очень полезна для исследователя тем, что она отражает фундаментальные свойства объекта-прототипа. Модель самолета может быть использована при испытаниях в аэродинамической трубе; картонный макет позволяет увидеть структуру здания во всех трех измерениях еще до его постройки. Модели социальных процессов выполняют похожую задачу, выявляя для изучения и экспериментирования ключевые признаки анализируемых процессов.
Первой из социальных наук в математическое моделирование оказалась сильно вовлеченной не политология, а, скорее, экономическая наука. В ней переход от словесных выражений к математическим был облегчен тем, что основной предмет ее интересов – деньги – уже изначально описывался с помощью чисел, и потому переход от счетоводства к математической экономической теории совершился почти без труда. Примерно тогда же и психология позаимствовала некоторые методы из биологии, которая в свою очередь переняла их у математической физики и химии. Таким образом, психология довольно рано стала пользоваться формальными методами для изучения особенностей поведения людей.
Политология шла по следам этих двух научных дисциплин, постепенно разворачиваясь в сторону количественных методик на протяжении 50 – 60-х годов. Ныне – если судить по тексту вводных курсов математического моделирования – по широте использования моделей социального поведения она уступает только экономике. Это может показаться удивительным, но политические процессы действительно обладают рядом особенностей, поддающихся математической обработке.
Начать с того, что многие политические решения содержат в себе значительный экономический компонент, а отсюда следует, что заметную роль в политологии должны играть модели, разработанные в рамках экономической науки. И экономические, и политические процессы включают в себя в качестве важной составляющей “рациональное” (т.е. целенаправленное) принятие решений в условиях неопределенности, конкретных ограничений и зачастую соперничества. Лучшим примером пересечения процессов принятия политических и экономических [c.467] решений может служить теория игр (см. ниже пример 2). Хотя политология на сегодняшний день заимствовала из экономики больше, чем экономика из политологии, разработчики экономических моделей начинают все больше осознавать необходимость введения в свои модели политических компонентов. Небезынтересно, что две Нобелевские премии по экономике были присуждены ученым (Кеннету Эрроу и Герберту Саймону), внесшим крупный вклад в развитие политической науки.
Деньги – не единственная интересующая политологов переменная, которая может описываться математически. Итоги голосования на выборах также приводятся в виде чисел. Военные приготовления обычно описываются в числовом выражении (число ракет, число танков и т.д.). В опросном исследовании политические мнения выражаются в виде процентных соотношений между различными группами респондентов. Вообще использование статистики в политологии опирается на математический фундамент. Шаг от просто количественного исследования к математической модели в этой области очень невелик.
Наконец, математическое моделирование не ограничивается операциями с количествами, оно может также иметь дело и с качественными характеристиками политического процесса. Некоторые политические процессы – такие, как принятие решений на выборах или распределение голосов избирателей, – могут быть определены полностью в математических терминах. В подобных случаях математические модели являются средством изучения логических следствий из наблюдаемых правил, и зачастую такие процессы оказываются куда более сложными, чем это можно было ожидать.
Математические модели помогают политологам с большей легкостью изучать особенности политических процессов. В нескольких уравнениях математической модели зачастую может быть заключен огромный объем информации. Во многих случаях возможна и компьютерная имитация политического процесса. Используя математические средства, политолог оказывается в состоянии взять на вооружение многие из методов, разработанных в логике, статистике, физике, экономике и других отраслях знаний, и применить их к изучению политического поведения. И наконец, [c.468] математические модели ясны и эксплицитны по форме и не оставляют недоговоренностей в том, что касается предполагаемых связей между явлениями.
Математическое моделирование предполагает исследовательскую стратегию, несколько отличающуюся от стратегий тех основных форм политологического исследования, которые описаны нами в других главах, поскольку оно основывается одновременно как на индукции, так и на дедукции. Сейчас мы обсудим общий процесс построения модели, в суммарном виде изображенной на рис. 17.1.
Первый шаг при построении модели – индуктивный: это отбор наблюдений, относящихся к тому процессу, который [c.469] предстоит моделировать. Грубую аналогию этому шагу можно усмотреть в отборе переменных и исходной совокупности при проверке гипотезы, с той только разницей, что последняя операция обычно более формализована. Один из возможных путей представления такого начального шага состоит в формулировке проблемы, т.е. в принятии решения относительно того, что следует принимать во внимание, а чем можно пренебречь.
Это очень важно в отношении последующих мер, поскольку в том случае, если изучаемый процесс слишком сложен для методов, доступных исследователю, или если исследователь станет изучать некорректно определенные переменные, то работа по моделированию не слишком продвинется. Успех в поиске интересной, нетривиальной, неизученной и при этом решаемой проблемы зависит от сочетания различных факторов – удачи, интуиции и личного опыта исследователя; этот поиск подобен поиску интересной теории в том виде, как он был описан в гл. 2. Моделирование обычно предполагает меньшее число переменных, нежели проверка гипотезы: последняя оперирует простыми процессами (например, линейной регрессией), относящимися к большому числу переменных, тогда как в моделях используются сложные процессы, относящиеся к малому числу переменных.
Второй шаг заключается в переходе от определения проблемы к собственно построению неформальной модели. Неформальная модель – это набор таких инструментов, которые способны объяснить отобранные нами наблюдения, но при этом определены недостаточно строго и нельзя с точностью проверить степень их логической взаимоувязанности. К примеру, если объектом моделирования является гонка вооружений (см. пример 1), то неформальная модель могла бы выглядеть следующим образом: “Гонка вооружений происходит потому, что государства боятся вооружений, имеющихся у других государств; пределы ее ограничены стоимостью вооружений”. Это утверждение сообщает нам нечто о механизмах, движущих гонку вооружений, но для окончательного варианта модели оно недостаточно специфицировано.
На этой стадии большинство разработчиков моделей рассматривают целый ряд наборов неформальных допущений, способных объяснить одни и те же данные; тем [c.470] самым они рассматривают несколько потенциальных моделей и пытаются решить, какая из них лучше всего отображает изучаемую проблему. Иначе говоря, разработчик модели старается найти различные способы установления логического соответствия между моделью и реальным миром. Это критический момент в процессе моделирования. Если лежащая в основе модели неформальная теория несостоятельна, то ее не спасет никакое количество изощренных математических приемов.
Приобретя определенный опыт в моделировании, исследователь обычно переходит от неформальных моделей к поиску среди существующих формальных моделей такой, которая бы наиболее адекватно подходила к его наблюдениям. Формальная модель отличается от неформальной тем, что все допущения в ней сформулированы в математической форме. Существующие модели на самом деле представляют собой вполне конкретные наборы приемов, и, поскольку они уже кем-то изучались, возможные выводы из их исходных посылок уже известны, что придает определенное направление и дальнейшим разработкам.
Вместо того чтобы иметь дело с произвольным набором неформальных допущений, опытный разработчик будет стремиться рассуждать в терминах “игра с нулевой суммой”, “игра "дилемма заключенного"”, “разностное уравнение первой степени”, “модель Даунса” и других хорошо отработанных моделей. Опытный разработчик использует отработанные модели для того, чтобы от рассуждений типа “Для решения этой задачи необходимо иметь некоторое количество мелких металлических резцов, расположенных в ряд на плоскости и способных при возвратно-поступательном движении разрушать клеточную структуру древесины” перейти к рассуждениям типа “Здесь требуется пила”.
Третий шаг – это перевод неформальной модели в математическую модель. Такой перевод включает в себярассмотрение словесного описания неформальной модели и поиск подходящей математической структуры, способной отобразить те же самые идеи и процессы. Это, по всей видимости, самый сложный этап во всем процессе моделирования. Именно здесь могут вкрасться многочисленные ошибки и двусмысленности, поскольку в любом процессе перевода содержание одновременно и теряется, и расширяется. [c.471]
Стадия перевода может таить в себе две опасности. Во-первых, неформальные модели имеют тенденцию быть неоднозначными, и обычно существует несколько способов перевода неформальной модели в математическую, но при этом альтернативные математические модели могут иметь совершенно различный смысл. На самом деле это одна из главных причин, изначально толкающих нас к применению математических моделей: язык математики лишен двусмысленностей и более точен, чем естественный язык, он позволяет исследовать скрытый смысл тончайших различий в формулировках, который плохо доступен исследованию посредством естественного языка.
Вторая возможная опасность заключается в добавлении к неформальной модели тех имплицитных допущений, которые сопутствуют использованию конкретных математических методов. Это оказывается особенно существенным в тех случаях, где задействованы статистические методики и дифференциальное исчисление. Важнейшие формулы теории вероятности и дифференциального и интегрального исчисления опираются на несколько простых допущений, которые чрезвычайно полезны с математической точки зрения, но совсем необязательно соответствуют условиям политической и социальной жизни. Эти допущения в общих чертах соответствуют тому, что мы наблюдаем в мире природных явлений (и поэтому дифференциальное исчисление оказалось столь пригодным для моделирования самых различных природных процессов), но в том, что касается социального поведения, они отнюдь не всегда могут быть в равной степени применимы. Даже если некоторая конкретная модель была изначально рассчитана на отображение социальных ситуаций, тем не менее, надо постоянно учитывать наличие в ней имплицитных допущений и обращаться с ними с осторожностью.
Перевод неформальной модели на язык математики – это еще один элемент в моделировании, где важную роль играют личный опыт разработчика и его способность к взвешенным оценкам. Во многих случаях можно сэкономить массу времени и усилий, делая определенные допущения, позволяющие легче оперировать с моделью на стадии ее математической обработки; в других случаях те же самые допущения могут вызвать значительное отклонение модели от [c.472] исходной неформальной теории. В процессе моделирования приходится считаться с обеими этими сторонами перевода. Особенности математической модели могут подвести исследователя к подгонке под нее некоторых допущений неформальной теории. С другой стороны, если неформальная теория выглядит осмысленно, а математическая модель – нет, то следует испробовать какую-то иную математическую версию данной модели.
Например, если мы примем в качестве допущения, что причина, по. которой люди участвуют в голосовании, заключается в возможности оказать какое-то воздействие на результаты выборов посредством нарушения потенциальной случайной связи, а математический анализ показывает, что вероятность случайной связи настолько мала, что большинство избирателей в большинстве выборов только из-за этого голосовать не стали бы, то факт, что люди все-таки приходят на избирательные участки, означает, что мы, возможно, недооценили какие-то другие причины участия в голосовании, например чувство гражданской ответственности или желание выразить свое мнение. С другой стороны, наше математическое определение случайной связи, возможно, чересчур строго; может быть, люди рассматривают вероятность того, что в итоге выборов разрыв между кандидатами не превысит 1% общего числа голосов, как более чем случайную связь.
Следующий этап – этап математической обработки формальной модели – является решающим в математическом моделировании. Именно здесь применяется весь арсенал математических методов – логических, алгебраических, геометрических, дифференциальных, вероятностных, компьютерных – для формального вывода нетривиальных следствий из исходных допущений модели. На стадии математической обработки мы обычно – вне зависимости от сути задачи – имеем дело с чистыми абстракциями и используем одинаковые математические средства, идет ли речь о гонке вооружений или о подпрыгивании мяча. Этот этап представляет собой дедуктивное ядро моделирования, заключающееся в поиске нетривиальных и непредвиденных выводов из правдоподобных допущений.
Полученные выводы проходят через еще один процесс перевода – на сей раз с языка математики обратно на [c.473] естественный язык. Предосторожности, упомянутые нами в связи с переводом на язык формальной модели, сохраняют свое значение и здесь: ведь перевод с неизбежностью влечет за собой потерю и добавление какой-то информации и каких-то допущений. Этот заключительный перевод может оказаться едва ли не самым трудным этапом в процессе моделирования – как часто, глядя на ряд уравнений или графов, задаешься вопросом: “Что же это все может означать?” Хотя разработчик модели в целом заинтересован в получении вполне определенного результата, имеющего вполне определенный реальный смысл, но моделирование нередко порождает и неожиданные результаты, которые могут быть даже более интересными, нежели изначально ожидавшиеся. Литература по моделированию полна примеров того, как исследователь, взяв модель, разработанную кем-то другим, получил из нее интересные, не предвиденные ее автором результаты. Например, феномен “циклического голосования” (т.е. ситуации, когда три или четыре предложения голосуются по принципу простого большинства и при этом ни одно из них не может перевесить все остальные в случае попарного голосования) был известен как математический курьез с XVIII столетия. И только в 50-х годах нашего века стало ясным его значение; это произошло после того, как Кеннет Эрроу применил его в своей “теореме невозможности”, демонстрирующей существование некоторых фундаментальных противоречий во всех демократических избирательных системах.
Далее исследователю нужно вернуться назад к первоначальным стадиям моделирования, с тем чтобы внести в модель определенные уточнения. Соответствуют ли полученные выводы тому, что от модели ожидалось изначально? Имеют ли эти выводы смысл в свете эмпирических наблюдений? Если да, то можно ли усовершенствовать модель так, чтобы получить и другие нетривиальные выводы? Можно ли ее сделать более общей? Можно ли получить те же выводы при более простом наборе исходных допущений? Если модель не несет в себе реального смысла, то, что было неверным – формальная модель или же исходная концептуализация? А может быть, какие-то имплицитные допущения помешали правильному переводу с языка неформальной теории на математический язык? В процессе моделирования эти вопросы следует держать в уме постоянно. К формальному [c.474] сравнению и уточнению модели можно возвращаться много раз, прежде чем станет возможной эмпирическая проверка, которая выступает в качестве окончательного этапа моделирования, необходимого для установления степени обоснованности модели.
Эмпирическая проверка бывает нужна не всегда: в некоторых случаях исходные предположения описывают процесс исчерпывающим образом (это относится, например, к правилам избирательной процедуры), и выводы модели в проверке не нуждаются. Но обычно исходные допущения содержат факторы, в теоретической разработке модели полностью не специфицированные и нуждающиеся в оценке с опорой на фактические данные. Поскольку реально все модели социальных процессов предполагают значительный элемент случайности, эмпирические тесты помогают установить также и предсказательную силу модели. Проверка модели включает в себя те же самые этапы операционализации, измерения и статистического анализа, которые обсуждались нами в других главах, хотя для проверки математической модели нередко требуется определенная адаптация стандартных статистических методик.
Как указывалось выше, существует множество причин, в силу которых политологи прибегают к использованию математических моделей. Однако у данного метода есть и недостатки и преимущества. Моделирование – это процесс упрощения и дедуктивного вывода. Упрощение влечет за собой потерю информации о событии. Дедуктивный вывод зачастую включает в себя сложную математическую обработку, которая, по крайней мере на первых порах, затрудняет работу с моделью. Поэтому в отношении моделирования возникает резонный вопрос: а для чего нужны все эти сложности?
Первая причина, побуждающая нас к моделированию политического поведения, состоит в том, что модель помогает формализовать происходящие в обществе события. Дело в том, что политическая жизнь достаточно регулярна, для того чтобы упрощенная неформальная модель ее могла принести определенную пользу. Большая часть того, что случается в области политики, как правило, не [c.475] является совсем уж неожиданным – на самом деле наличие элемента неожиданности указывает на то, что у нас имеются априорные представления о том, как могут развиваться события, и мы в состоянии осознать факт неожиданного поворота дел. Значит, у нас в мозгу имеются своего рода ментальные модели функционирования политических систем, даже если мы ни разу не пытались выразить их эксплицитно. Математические модели как раз и помогают эксплицировать подобные неформальные модели.
В качестве примера ментальной модели можно привести следующий. Предположим, что на предстоящих президентских выборах один из кандидатов набирает 95% всех голосов. Очевидно, что это никак не противоречит ни конституции, ни устоявшимся избирательным процедурам. Однако мы будем склонны рассматривать такой факт как крайне маловероятный в силу целого ряда причин. Во-первых, мы допускаем, что со стороны каждой партии наберется достаточное число избирателей, чтобы свести к минимуму возможность чисто случайного результата голосования. Во-вторых, мы исходим из того, что ни одна партия не станет выставлять столь непопулярного кандидата, чтобы он мог собрать лишь 5% голосов. В-третьих, мы полагаем, что подсчет голосов производится без подтасовок. Можно было бы перечислять и далее, но суть в том, что относительно политической системы США у нас имеется целый ряд исходных допущений, в свете которых разбиение голосов на 5 и 95% представляется нам малоправдоподобным.
Все подобные допущения упрощают действительность. Мы не знаем, каково точное число избирателей, да нам это и не надо – мы просто знаем, что оно очень велико. Мы не знаем, какие конкретно особенности кандидата делают его приемлемым для одних избирателей и неприемлемым для других, но мы исходим из того, что совсем уж непопулярные кандидаты не будут выдвинуты на голосование. Мало у кого есть личный опыт в деле подсчета голосов, достаточный для того, чтобы знать, честно ли проводятся выборы, но весь опыт прошлого дает основания считать, что фальсификации на выборах места не имеют2. Поскольку эти допущения не столь уж часто приводят нас к неверным выводам, мы можем использовать эту модель [c.476] политической системы для неформального прогнозирования будущего. В действительности те случаи, когда какой-либо кандидат получает 95% голосов, вызывают у населения сильное недоверие, иногда вплоть до требований о расследовании, так что наша модель отчасти определяет также поступки и отношения людей.
Другой причиной применения математического моделирования является необходимость эксплицитно описать механизмы, объясняющие наши неформальные прогнозы. Несмотря на то, что все индивиды знают, чего можно, а чего нельзя ожидать от данной политической системы, они зачастую не в состоянии определить точно, почему и что конкретно они от нее ожидают. Формальная модель как раз и помогает преодолеть чересчур свободные формулировки допущений неформальной модели и дать точный, а подчас и поддающийся проверке прогноз.
Вышеприведенный пример выводится из модели Даунса, которую мы будем рассматривать ниже в данной главе. Формальная модель Даунса предсказывает, что любая политическая партия в условиях альтернативных выборов будет выбирать своих кандидатов и платформу так, чтобы привлечь с их помощью как можно большее число избирателей. Это и некоторые дополнительные соображения приводят нас к заключению, что существует тенденция, в соответствии с которой политические партии должны получить на выборах примерно равное число голосов; именно такой исход обыкновенно и наблюдается на выборах в США. Таким образом, данная формальная модель предсказала не только то, что исход с распределением голосов в соотношении 95:5 является маловероятным, но и то, что ожидаемым будет распределение в соотношении 50:50, в пользу чего было приведено определенное обоснование.
Порой, кажется, что математические модели всего лишь подтверждают и так очевидные вещи. На самом деле это неотъемлемая особенность любых моделей постольку, поскольку от них ожидается, что они в той или иной степени должны воспроизводить все происходящее в каждодневной политической реальности. Однако люди, как правило, очень смутно представляют себе, что такое “очевидное”. Рассмотрение ряда противоречащих друг другу афоризмов (“волк волка чует издалека” и “крайности сходятся”, “с [c.477] глаз долой – из сердца вон” и “чем дальше с глаз, тем ближе к сердцу” и т.п.) убеждает нас в том, что здравый смысл часто оказывается правильным именно потому, что он настолько расплывчат, что попросту не может быть неверным.
Строгость формальных моделей, напротив, означает как раз то, что они могут быть неверными, и в результате у модели “спортивные показатели” могут быть подчас хуже, чем у более неоднозначного здравого смысла. Однако это вовсе не слабость, а, наоборот, достоинство моделирования, ибо допущения и прогнозы модели оказываются достаточно точными, чтобы их можно было проверить, а также указать, в каком месте и как произошла возможная ошибка. Та модель, которая устояла против целого ряда попыток ее искажения, вполне вероятно, и в будущем будет давать правильные прогнозы. Модель же, которая раз за разом дает неверные предсказания, видимо, должна быть устранена из рассмотрения.
Короче говоря, модель бывает полезной только в том случае, если в принципе, возможно, продемонстрировать ее ошибочность. Если невозможно показать, что модель неверна, то невозможно также доказать, что она верна, а отсюда следует вывод о бесполезности такой модели. Неформальная интуитивная модель, позволяющая уходить от всевозможных ошибок, может быть большим тактическим подспорьем на переговорах, но она бессильна помочь нам яснее понять механизм политического поведения.
Третьим преимуществом формальных моделей, но сравнению с голой интуицией или даже с тщательно обоснованной аргументацией на естественном языке является их способность систематически оперировать с сущностями более высокого уровня сложности. Естественные языки (подобно английскому) возникли как средства общения, а не как средства логического вывода. Математика, напротив, изначально была задумана как средство логического вывода и систематического оперирования понятиями. И опыт показал, что математика в этом отношении – очень полезное орудие. Политологи со своей стороны только сейчас начинают осознавать, что может дать моделирование для более углубленного понимания политического поведения, а в ряде случаев должны были развиться целые отрасли математики (самый заметный пример – [c.478] теория игр), прежде чем обществоведы смогли увидеть нечто общее в разрозненных типах социального поведения. Математическое моделирование социального поведения насчитывает не более 20 лет от роду, и пока нет оснований считать, что оно уже достигло пределов своего развития.
И наконец, преимуществом математического моделирования является также то, что оно позволяет различным научным дисциплинам обмениваться своими исследовательскими средствами и приемами. Тому можно привести много примеров: в моделях, используемых в политологии, задействованы не только основные математические средства, но и масса методик, заимствованных из эконометрики, социологии и биологии. Опросное исследование – представляющее собой, по сути дела, сложную математическую модель распределения общественного мнения между различными группами населения – является широко распространенным методом, используемым в большинстве социальных наук. Заимствование происходит и в обратном направлении: специалисты по системотехнике, разрабатывая крупные компьютерные модели глобальных социально-демографических процессов, для уточнения политических аспектов были вынуждены обратиться к политологическим моделям, а совсем недавно математики, работающие над новой теорией хаотического поведения, обнаружили, что модель Ричардсона гонки вооружений (см. пример 1) поддается весьма продуктивному анализу с применением методов вышеупомянутой теории. Подобным же образом и теория игр была изначально разработана экономистами и политологами для анализа явления конкуренции и лишь впоследствии превратилась в раздел чистой математики.
Помимо стимулирования междисциплинарного обмена методами и идеями, математические модели полезны также тем, что позволяют увидеть глубинную однородность явлений, которые на первый взгляд не имеют между собой ничего общего. Следующий пример, сам по себе довольно тривиальный, наглядно демонстрирует такой тип обобщения.
Представим себе нехитрую игру, в которой два игрока по очереди берут со стола фишки, пронумерованные от 1 до 9:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
[c.479]
Выигрывает тот, кто первым наберет фишек на сумму, равную 15. Играя в эту игру, вы, несомненно, обнаружите, что в ней есть свои приемы – в частности, в порядке защитного приема вы можете забирать со стола именно те фишки, которые нужны второму игроку для получения окончательной суммы, – однако общая стратегия игры, по-видимому, не совсем очевидна. Чтобы обобщить игру, перепишем номера фишек следующим образом:
|
4 3 8 |
9 5 1 |
2 7 6 |
Заметим, что в такой записи каждая строка, столбец и диагональ в сумме дает желаемый исход – 15. Таким образом, для успешной игры нужно выбрать какой-то один из этих рядов чисел. В такой форме игра выглядит уже очень знакомо: это “крестики-нолики”, в которые умеет играть любой пятилетний ребенок. После того как мы представили игру в упорядоченном виде, то, что сначала нам казалось незнакомым, теперь стало выглядеть вполне узнаваемо, так что мы получили возможность использовать в новом контексте издавна известное нам решение.
Это упражнение – конечно, в более сложных формах и применительно к более значимым задачам – весьма характерно для процесса нахождения общих черт с использованием математических моделей. Известно множество случаев, когда математическая модель, разработанная изначально в расчете на одну какую-то проблему, оказывалась равным образом применимой и к другим проблемам. К примеру, модель Ричардсона гонки вооружений может быть использована для изучения не только международной гонки вооружений, но и динамики роста предвыборных расходов соперничающих политических партий или процесса взвинчивания участниками аукциона цены на “лакомый” товар. Игра “дилемма заключенного” применима не только к примеру позиционной войны (см. ниже), но и к случаю “войны цен” между двумя бензозаправочными станциями, а также к случаю принятия государством решения о необходимости разработки нового вида оружия. Разновидность игры “дилемма заключенного” под названием “цыпленок” берет свое начало от игр юных головорезов, носившихся в разбитых колымагах по заброшенным дорогам Калифорнийской пустыни; она теперь [c.480] применяется к изучению политики ядерного сдерживания в условиях угрозы термоядерной войны. Перечислять примеры можно было бы до бесконечности; для нас, однако, существенно, что большинство хороших математических моделей находят применения, далеко выходящие за рамки тех проблем, ради которых они первоначально разрабатывались.
Итак, математические модели имеют четыре потенциальных преимущества по сравнению с естественно-языковыми моделями. Во-первых, они упорядочивают те ментальные модели, которыми мы обычно пользуемся. Во-вторых, они лишены неточности и неоднозначности. В-третьих, математическая запись в отличие от естественно-языковых выражений позволяет оперировать на очень высоком уровне дедуктивной сложности. И, наконец, математические модели способствуют нахождению общих решений для проблем, кажущихся на первый взгляд разнородными.
ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОЛИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ
Нижеприведенные примеры отбирались нами так, чтобы лучше очертить границы применения математических моделей политического поведения, а также чтобы познакомить читателя с наиболее распространенными моделями. В каждом из этих примеров обсуждается только часть возможных следствий модели, поскольку каждой модели посвящены без преувеличения сотни исследований.
Пример 1. Гонка вооружений (модель Ричардсона)
В 1918 г. английский метеоролог Льюис Ф. Ричардсон, служивший на фронте санитаром, вернулся с первой мировой войны потрясенный размерами виденных им разрушений и насилия. Он был преисполнен решимости применить свои недюжинные математические способности и новейшие научные знания к изучению феномена войны. Поскольку первой мировой войне предшествовала гонка вооружений, Ричардсон обратился к рассмотрению этого явления. Благодаря своим занятиям физикой он был хорошо знаком с дифференциальным исчислением, используемым при моделировании динамических процессов. Гонка вооружений, рассуждал он, тоже является [c.481] динамическим процессом и может быть приблизительно описана с помощью математической модели.
Испробовав десятки сложных математических формул, Ричардсон, в конце концов, остановился на относительно простой модели, учитывающей действие всего лишь трех факторов. Первый из них состоит в том, что государство Х ощущает наличие военной угрозы со стороны противника – государства Y. Чем большим количеством вооружений располагает Y, тем больше вооружений захочет приобрести X в ответ на воспринимаемую им угрозу. Однако в то же самое время государство Х вынуждено решать и насущные социальные задачи, и не может перевести всю свою экономику на рельсы военного производства. Следовательно, чем большим количеством вооружений располагает X, тем меньше дополнительных вооружений оно сможет приобрести из-за существующего бремени расходов. И, наконец, по рассуждению Ричардсона, существуют и прошлые обиды, влияющие на общий уровень вооружений. Та же самая логика, которая применима к государству X, действует и в отношении государства Y, для которого составляется сходное уравнение. С математической точки зрения все это рассуждение сводится к двум уравнениям:
Xt+1 = kYt – aXt + g,
Yt+1 = mXt – bYt + b.
Члены уравнений Xt и Yt обозначают величины уровней вооружений в момент времени t, Xt+1 и Yt+1 – в момент времени t+1. Коэффициенты k, т, а и b все являются положительными величинами, a g и h – положительными или отрицательными в зависимости от того, насколько в целом враждебно или дружественно настроены государства X и Y по отношению друг к другу. Величина угрозы отражена в членах kYt и mXt, поскольку, чем больше эти числа, тем больше количество вооружений у противной стороны. Величина расходов отражена в членах – aXt и bYt, поскольку за счет этих членов снижается уровень вооружений в следующем году. Наконец, константы g и h отражают величину прошлой обиды, которая в рамках данной модели считается неизменной.
Красота модели Ричардсона заключается в ее автономности: если вам известны значения коэффициентов и уровни вооружений государств Х и Y в одном каком-то [c.482] году, вы можете с помощью этой модели предсказать величину уровня вооружений в любом последующем году. Это придает модели способность – во всяком случае, в теории – прогнозировать будущее, и Ричардсон надеялся, что если политики смогут предсказывать приближение войны, то они смогут научиться и предотвращать ее.
На удивление оригинальная работа Ричардсона пребывала в безвестности в течение ряда десятилетий. Он продолжал свои исследования в области математизации международных отношений вплоть до самой пенсии, но работа его не получила признания ни в научных, ни в политических кругах. Ричардсон умер в 1953 г., будучи хорошо известен своими работами по математической метеорологии, но совершенно неизвестен в области политической науки.
Второе рождение работы Ричардсона наступило после того, как в конце 50-х годов ее обнаружила и стала всячески рекламировать группа социологов из Чикагского и Мичиганского университетов. Журнал “Journal of Conflict Resolution” посвятил Ричардсону целый выпуск. Были опубликованы две рукописи Ричардсона – “Статистика непримиримых распрей” и “Вооружение и отсутствие безопасности”, – и его модель стала краеугольным камнем новой области знаний – математической теории международных отношений. К началу 70-х годов модель была испробована уже сотни раз на самых разных вариантах гонки вооружений.
Модель работала! Не идеально, конечно: ведь любая гонка вооружений имеет сложный комплекс причин, совокупность которых не в состоянии охватить ни одна искусственная модель. Однако модель Ричардсона в целом эффективна в случаях краткосрочных прогнозов, и – что существенно – лучше нее не работает никакая другая автономная модель. Касается ли это противостояния между НАТО и Организацией Варшавского Договора, ближневосточного конфликта или трагической 30-летней войны в Юго-Восточной Азии, модель Ричардсона гонки вооружений всякий раз адекватно отражает основные особенности конкретного варианта гонки вооружений. При этом эмпирически обнаружилась еще одна область применения данной модели.
Одной из важнейших характеристик модели Ричардсона является стабильность. В простейшей форме стабильность [c.483] определяется тем, какими – ускоренными или замедленными – темпами развивается гонка вооружений3. На рис. 17.2. показаны два примера гонки вооружений: стабильной гонки вооружений между странами НАТО и ОВД и нестабильной между Ираном и Ираком; на обеих схемах размеры военных расходов приведены согласно данным ежегодников Международного института мирных исследований в Стокгольме (SIPRI). В случае нестабильной гонки вооружений, проблема предотвращения войны была, конечно, тем главным стимулом, который с самого начала подтолкнул Ричардсона к его разработкам. Оказалось, что его модель умеет очень хорошо предсказывать войну, поскольку почти всем современным войнам предшествует нестабильная гонка вооружений. Ричардсон постулировал это в своей основополагающей работе, а впоследствии это было подтверждено другими, более систематическими исследованиями.
В конце 70-х годов Майкл Уоллес обнаружил, что нестабильность гонки вооружений тесно коррелирует с войной. Используя несколько более сложное, однако, основанное на Ричардсоновой модели определение гонки вооружений, Уоллес обнаружил, что из 28 серьезных международных конфликтов, сопровождавшихся гонкой вооружений [c.484] в период с 1816 по 1965 г., целых 23 завершились войной. А из 71 конфликта, не вовлекавшего гонки вооружений, только три перешли в войну.
Другой иллюстрацией того же положения может служить следующий пример. В 1976 г. У. Лэдд Холлист, опираясь на модель Ричардсона и данные SIPRI о военных расходах, изучал четыре случая гонки вооружений: между СССР и США, между Индией и Пакистаном, между Ираном и Ираком и между Израилем и Египтом в период с 1948 по 1973 г. Из всех четырех случаев стабильной была только гонка СССР – США, что представляло своего рода проблему, и вот почему. Ведь гонки Индия – Пакистан и Израиль – Египет, будучи нестабильными, закончились войной, как и предсказывала модель; гонка СССР – США, будучи стабильной, не перешла в войну опять же в соответствии с предсказанием модели. Однако между Ираном и Ираком велась нестабильная гонка вооружений, а войны не было. Эта неувязка разрешилась в 1980 г., четыре года спустя после публикации статьи Холлиста, когда долго тлевший конфликт между Ираном и Ираком, наконец, разразился войной. Ирано-иракская гонка вооружений была стабильной до конца 60-х годов и лишь в 70-х годах превратилась в нестабильную, что дополнительно сужает тот период времени, когда, согласно предсказанию, могла случиться война.
Модель Ричардсона – это только один из представителей очень большого класса динамических моделей, т.е. таких, которые моделируют развитие некоторого процесса во времени. Многие из этих моделей реализуются в виде дифференциальных уравнений, а многие заимствуют математический аппарат из моделей демографического роста и других биологических процессов. Еще более сложными являются динамические компьютерные имитационные модели, которые моделируют сложные процессы с помощью больших систем уравнений, не поддающихся решению алгебраическими средствами. Объектами компьютерных имитационных моделей зачастую являются целые государства или глобальные политические и экономические системы, и эти модели все чаще используются для проигрывания сценариев типа “что будет, если…”, затрагивающих различные сюжеты внутренней и международной политики. [c.485]
До недавнего времени большинство динамических моделей, изучавшихся в политологии, отражали систематические, “правильные” процессы. В последнее десятилетие значительная работа проделана по “хаотическим моделям”, которые являются более сложными, чем модель Ричардсона и не имеют случайных компонентов, но во временном отношении генерируют поведение, которое кажется случайным. Динамический хаос может служить объяснением того, как постоянный политический процесс порождает в высшей степени нестандартное, “неправильное” поведение, например, гражданскую войну или парламентскую нестабильность.
Пример 2. Игра “дилемма заключенного”
Одна из наиболее развитых областей математического моделирования социального поведения называется теорией игр. “Игры” в рамках данной теории – это ситуации, в которых два (или более) участника делают выбор в отношении своих действий и выигрыш каждого участника зависит от совместного выбора обоих (всех). Примерами этого типа ситуаций могут служить такие традиционные игры, как шахматы, покер и футбол, поскольку исход их зависит от совокупных действий игроков. Игры, изучаемые теорией игр, обычно более формализованы, чем традиционные, и вознаграждения в них представляют собой не просто выигрыш или проигрыш, а нечто более сложное, но принцип соревнования и здесь и там один и тот же. Теория игр была разработана во время второй мировой войны и изначально рассматривалась как секретное оружие, однако с той поры она давно превратилась в самостоятельную отрасль математики.
Теория игр первоначально разрабатывалась на материале одного из типов соревнования, который носит название игры с нулевой суммой и заключается в том, что, сколько один игрок выигрывает, столько же другой проигрывает. К этой категории принадлежит большинство обычных игр, а также некоторые из “игр”, с которыми мы встречаемся в области политики, например выборы.
Однако большая часть политических ситуаций являются играми с ненулевой суммой, или кооперативными, когда оба игрока при определенных условиях могут [c.486] оказаться в выигрыше (т.е. тот факт, что один из игроков выиграл, вовсе не означает, что другой столько же проиграл). Из кооперативных игр лучше всего изучена игра “дилемма заключенного”, вариант которой разбирается ниже.
Представим себе ситуацию позиционной войны во время первой мировой войны. Солдаты британских и германских войск сидят в окопах друг против друга, разделенные только нейтральной полосой, а снайперы на брустверах выжидают, когда какой-нибудь неосторожный солдат встанет на секунду во весь рост в обстреливаемом месте, чтобы убить его. В самом начале подобного патового положения потери обеих сторон от снайперских выстрелов велики, и обе стороны чувствуют себя скованно и неуютно, будучи полностью привязанными к окопам. Но со временем, когда одни и те же подразделения неделю за неделей привыкают друг к другу, урон от снайперских атак начинает сходить на нет, постепенно приобретая характер просто несчастного случая. Посторонние наблюдатели, посещающие линию фронта, бывают удивлены, видя, как с обеих сторон солдаты расхаживают не таясь, совершенно без всякого прикрытия и никто никого не пытается при этом убить. Это совсем непохоже на то, как изображают войну в кино, и такое положение бесит некоторых офицеров, но “сотрудничество” становится правилом, и те неопытные офицеры, которые стараются заставить солдат нарушить это правило, имеют скверное свойство погибать от несчастного случая. Надо заметить, что подобное неформальное перемирие происходит без каких-либо открытых договоренностей между враждующими сторонами.
Вышеописанное представляет собой вовсе не плод выдумки пацифиста, а реальную ситуацию. Роберт Аксельрод приводит такую цитату из мемуаров британского офицера, участвовавшего в первой мировой войне: “Я пил чай в компании, когда мы услышали крики и вышли наружу узнать, в чем дело. Мы увидели, как германские и наши солдаты стоят друг против друга на своих брустверах. Внезапно рядом разорвался снаряд, но не причинил никому вреда. Естественно, обе стороны поспрыгивали в окопы, и наши стали ругать немцев, и вдруг один смелый немец вскочил на бруствер и крикнул: "Нам очень жаль, мы надеемся, никто не пострадал. Это не наша вина, это проклятая прусская артиллерия!"”4.
Это явление может быть объяснено с помощью очень широко применяемой модели под названием игра [c.487] “дилемма заключенного”. В “дилемме заключенного” обе стороны стоят перед выбором: либо сотрудничать друг с другом, либо друг друга обманывать. В том примере, который мы привели, платежная матрица (в терминах количества человек, убиваемых ежедневно) могла бы выглядеть так, как это показано в табл. 17.1. В этой матрице выплаты приводятся в таком порядке: британская сторона, германская сторона – и обозначают среднее число солдат, убиваемых за день.
Таблица 17.1
|
Британская сторона |
Германская сторона |
|
|
Сотрудничество |
Обман |
|
|
Сотрудничество Обман |
Клетка 1 –1, –1 Клетка 3 0, –10 |
Клетка 2 –10, 0 Клетка 4 –3, –3 |
Стратегия сотрудничества означает отсутствие намеренных попыток убить солдата противной стороны; стратегия обмана означает наличие таких попыток. Если обе стороны сотрудничают (клетка 1), то мы принимаем потери за величину случайную, что в среднем может выражаться в гибели одного солдата в день с каждой стороны. Если обе стороны намеренно ведут снайперский отстрел (клетка 4), то смертей будет больше, но ненамного, потому что обе стороны будут укрываться в окопах и не станут выставляться в качестве мишеней. И, наконец, если одна сторона начинает вести снайперский отстрел, в то время как другая занимается сотрудничеством (клетки 2 и 3), то та сторона, которая пытается сотрудничать, понесет значительные потери, а другая предположительно будет готова к отпору и вообще не понесет потерь в этот день.
В “дилемме заключенного” интересно то, что, чем хуже каждая из сторон думает о другой, тем скорее обе они примут стратегию обмана. Если одна из сторон выбирает сотрудничество, то наихудший исход (10 смертей) может ожидаться тогда, когда другая сторона в ответ выберет обман. Если одна из сторон выбирает обман, то неблагоприятный исход ожидается и тогда, когда другая сторона так же выберет обман, но это приведет всего лишь к трем смертям. Поэтому если выбирать из худших исходов [c.488] наилучший (это называется минимаксным решением), то надо обманывать. Но при этом следует учитывать, что если бы обе стороны сотрудничали, то обе они были бы в большем выигрыше, нежели в случае взаимного обмана (то есть теряли бы каждая по одному солдату в день). В этом заключается дилемма выбора.
Приведенный пример – это всего лишь один случай из очень большого числа ситуаций, к которым применима игра “дилемма заключенного”5. Другие стандартные примеры – это: обоюдный контроль над вооружениями, контроль за выполнением деловых контрактов, взаимный контроль государства и фермеров за ценами на продовольствие, соблюдение картельных соглашений, принятие решения о начале войны обычного типа и даже совместное решение студентов не готовиться особенно усердно к экзамену (поскольку требования, предъявляемые к отдельному ответу, обычно зависят от общего уровня ответов).
В отношении “дилеммы заключенного” наиболее интригующим представляется то обстоятельство, что в реальной действительности игроки чаще выбирают сотрудничество, несмотря на все факторы, подталкивающие их к обману. Для специалиста по теории игр вопрос заключается в том, почему так происходит. Вопрос этот становится особенно интересным, если учесть, что, согласно существующим исследованиям по играм с ненулевой суммой, наиболее соблазнительными для игроков свойствами обладает минимаксное решение (предполагающее обоюдный обман). В этой связи до недавнего времени оставалось неясным, каков, собственно, механизм сотрудничества (кооперации) в “дилемме заключенного”.
Ключ к решению этой проблемы лежит, по-видимому, в том, что игра носит итеративный характер – т.е. повторяется много раз, – что позволяет каждой из сторон многократно наказывать другую за обман. В серии весьма искусных опытов, проведенных в начале 80-х годов, Роберт Аксельрод показал, что простая стратегия игры “зуб за зуб” – т.е. причинение противнику всего того, что он причинил вам в предыдущем туре игры, – оказывается предпочтительной в ситуации, когда большое число игроков занято в играх типа “дилеммы заключенного”. В частности, если из двух игроков оба руководствуются стратегией “зуб за зуб”, то, начав игру с сотрудничества, они и далее [c.489] будут продолжать в том же духе. Если игрок, следующий стратегии “зуб за зуб”, встречается с игроком, склонным к обману, то это, скорее всего, приведет к их взаимному уничтожению. Следовательно, в реальной действительности, где распространены ситуации типа “дилемма заключенного”, наиболее удачливыми окажутся, скорее всего, те игроки, которые согласны сотрудничать по принципу “зуб за зуб”. В тех ситуациях, в которых не умеющие или не желающие сотрудничать игроки имеют мало шансов на выживание (как в описанной выше позиционной войне или в выполнении условий деловых контрактов), успех будет, в конечном счете, на стороне того игрока, действующего по принципу “зуб за зуб”, с которым сотрудничать вполне безопасно. Это во многом объясняет, почему сотрудничество реально существует в мире, где нет ни принуждения к выполнению контрактов, ни договоренностей между игроками и где противника, пытающегося сотрудничать, выгодно обмануть.
Приведенный пример всего лишь в общих чертах дает представление об исследованиях Аксельрода и др. и о той обширной литературе, которая посвящена игре “дилемма заключенного”. Небольшие видоизменения в этой игре позволяют, кроме всего прочего, исследовать такие проблемы, как вопрос об осмысленности применения угроз, о преимуществах, которые можно получить от прерывания сделки или переговоров (стратегия “сжигания мостов”), о важности блефования и отвлекающих маневров, о значимости случайного поведения, а также целый ряд других характерных особенностей ситуаций состязания.
Пример 3. Модель Даунса
В начале работы сессии конгресса 99-го созыва в январе 1985 г. к присяге при вступлении в должность были приведены только 434 члена палаты представителей вместо обычных 435. Одно место по 8-му избирательному округу штата Индиана оставалось незанятым ввиду того, что ситуация, сложившаяся в предвыборной борьбе между кандидатом от демократов преподобным Фрэнсисом Макклоски и его соперником-республиканцем Ричардом Ф. Макинтайром, была близка к патовой. Согласно первоначальному подсчету, Макклоски обошел соперника только на 72 голоса (из 233 тыс. поданных бюллетеней), т.е. на [c.490] 0,03%. Окончательный подсчет, предпринятый палатой и послуживший причиной демонстративного ухода с заседания одного из депутатов-республиканцев, показал отрыв в пользу Макклоски уже только в четыре голоса, т.е. 0,0017% всех поданных голосов.
Чтобы представить этот случай в истинном свете, зададимся вопросом, какова вероятность того, что 233 тыс. избирателей, каждый из которых должен опустить в избирательную урну зеленый или красный бюллетень, сделают свой выбор так, что окончательное соотношение бюллетеней разного цвета в урне лишь на 0,03% отклонится от идеального разбиения 50:50? Даже если допустить, что всем избирателям одинаково безразлично, какого цвета бюллетень опустить в урну, – эта вероятность не превышает 0,0005 (огрубленно 1 шанс из 2000). Поэтому выборы, приближающиеся по результатам к игре вничью, следовало бы расценивать как крайне маловероятное событие. И, однако, в американской избирательной системе они совсем не так уж редки. Например, из семи президентских выборов три закончились с перевесом одного претендента над другим менее чем в 2% общего числа поданных голосов.
|
1960 г. |
Кеннеди Никсон разность |
34 226 731 34 108 157 118 574 |
(0,17 %) |
|
1968 г. |
Никсон Хамфри разность |
31 785 480 31 275 166 510 314 |
(0,81 %) |
|
1976 г. |
Картер Форд разность |
40 380 763 39 147 973 1 232 790 |
(1,5 %) |
К этому можно было бы добавить много других примеров, относящихся к выборам в конгресс, в органы власти штатов и округов.
С точки зрения разработчика математических моделей, это довольно загадочное явление: почему столько результатов выборов оказываются между собой намного ближе, чем ожидалось бы даже при случайном распределении? В одной из своих работ по формальному моделированию в политологии Энтони Даунс предложил простой механизм объяснения этого феномена. [c.491]
Даунс использовал модель, впервые предложенную Хэролдом Хотеллингом в 1929 г. для объяснения того, почему бакалейные лавки в провинциальных городках, как правило, располагаются вблизи друг от друга. В качестве примера в рамках базовой модели Хотеллинга возьмем следующий. Допустим, что городок представляет собой шахтерский поселок в глубокой провинции, а ближайший магазин расположен от него в 50 милях. В поселок приезжают, чтобы открыть в нем магазины, два торговца-конкурента. Из опыта торговли в шахтерских поселках оба они одинаково хорошо знают, какие товары будут здесь пользоваться спросом, поэтому единственное, чем их магазины могут различаться, – это месторасположение, потому что клиенты-шахтеры, очевидно, предпочтут посещать тот магазин, который находится ближе. В подобном случае существует только одно место, идеально подходящее для расположения магазина, – это точка, в которой среднее расстояние от дома каждого шахтера до магазина является минимальным. Если оба владельца магазинов это осознают, то они расположат свои лавки в одном и том же месте, несмотря на то, что они окажутся впритык друг к другу, и, добавим мы, несмотря на то, что расположение лавок вдали друг от друга сократило бы время, необходимое части клиентов, чтобы дойти от дома до лавки, и притом сохранило бы возможность для владельцев лавок поровну поделить между собой объем коммерции (кстати сказать, это последнее соображение являет собой еще один пример “дилеммы заключенного”).
Логику модели Хотеллинга Даунс применил к ситуации выборов. В простейшей модели Даунса предполагается, что избиратели упорядочены соответственно своим политическим мнениям – от либералов до консерваторов (как показано на рис. 17.3). Предполагается также, что каждый избиратель будет голосовать за того кандидата, который идеологически ему ближе. В подобной ситуации кандидаты будут стремиться быть идеологически как можно ближе к “золотой середине” (точка, помеченная на рисунке буквой С). Если один кандидат займет центристскую позицию (точка С), а другой кандидат займет позицию, отличную от центристской (скажем, соответствующую точке О), то последний проиграет на выборах: ведь за кандидата, занимающего точку С, проголосует более 50% [c.492] избирателей, расположенных вправо от С, затем голоса распределятся в промежутке от С до О и, таким образом, это будет означать победу данного кандидата на выборах. Это саморегулирующийся процесс: кандидат может его проигнорировать, но только ценой своего провала на выборах. Поэтому следует думать, что опытные политики – те, которые уже неоднократно одерживали победу на выборах, – обладают способностью вычислять или угадывать, где расположена политическая “золотая середина”.
Эта модель объясняет то важное наблюдение, что на многих выборах голоса разбиваются почти пополам: ведь опытные кандидаты будут стараться быть как можно ближе к центру голосования. Однако модель Даунса предсказывает, что у кандидатов при этом будут почти одинаковые позиции, а это вовсе не обязательно так. Кандидаты на выборах в США по большей части очень близки идеологически, но все же редко настолько близки, насколько это предполагается данной моделью. Поэтому надо посмотреть, не нуждается ли модель в каких-то дополнительных допущениях.
К этой проблеме можно подходить с разных сторон, но простое наблюдение свидетельствует о том, что в большинстве округов каждый кандидат должен пройти два тура выборов – первичный и всеобщий. На первичных выборах распределение идеологических акцентов отклоняется от точки центра. Пунктирные линии на рис. 17.3 показывают гипотетическое распределение голосов в первичных турах отдельно республиканской и отдельно демократической партии: голоса на республиканских первичных выборах обычно сдвинуты сильно вправо, а на демократических – сильно влево, притом, что многие центристски настроенные избиратели в первичных турах вообще не участвуют. Применяя к первичному туру модель [c.493] Даунса – Хотеллинга, мы видим, что для того, чтобы победить, каждый кандидат будет стремиться занять позицию в центре голосов, отданных его партии (на рисунке – точки Д и Р), и тем самым удалится от точки С.
Если бы избиратели не придавали значения постоянству позиции кандидата, то самым логичным для каждого кандидата было бы во время первичных выборов занимать позицию партийного центра, а затем немедленно переориентироваться, заняв точку общеэлекторатного центра С. Однако избиратели не столь забывчивы, поэтому кандидатам приходится, двигаясь в сторону центра, не отрываться и от своей первоначальной позиции, чтобы их не обвинили в неустойчивости взглядов. Более того, в том случае, если позиция партийного центра и позиция общеэлекторатного центра разделены значительным расстоянием, кандидат, избранный на первичных выборах, может оказаться просто не в состоянии занять выигрышную позицию на всеобщих выборах и проиграет с большим отрывом от соперника (как это случилось, например, с Барри Голдуотером в 1964 г. и с Джорджем Макговерном в 1972 г.). Но в ситуации, когда оба кандидата изначально сильно удалены от центра, они вполне могут расщепить итоги голосования почти точно надвое, выбрав соответствующие симметрично расположенные относительно точки С, но при этом несовпадающие позиции. Как на то указывает частота выборов с исходом голосования 50:50, американские политики, по-видимому, очень хорошо умеют выбирать именно такие позиции.
Представленная здесь модель являет собой всего лишь простейший вариант модели Даунса; и сам Даунс, и другие исследователи занимались разработкой более сложных вариантов, чем этот. В реальной жизни мнения избирателей не поддаются строгому упорядочению в виде колоколообразной кривой, проходящей вдоль единой фиксированной идеологической оси; вместо этого они занимают меняющиеся позиции на целом ряде осей, а по некоторым вопросам занимают сильно отличные друг от друга позиции. Однако даже столь простая модель позволяет объяснить, почему некоторые, но не все выборы кончаются с исходом голосования почти 50:50, почему кандидаты не занимают на всеобщих выборах совпадающих позиций и почему кандидаты часто меняют свои [c.494] идеологические позиции в промежутке между первичными и всеобщими выборами.
Приведенные в этой главе примеры могут дать лишь очень поверхностное представление о математических моделях политического поведения. Необходимо также упомянуть, по крайней мере, некоторые другие типы моделей.
Существует обширная литература по принятию решений относительно ожидаемой полезности той или иной меры; такое принятие решений является способом моделирования соответствующих ситуаций, сопряженных с риском или неопределенностью. Эти модели очень широко используются в анализе, проводимом в целях выбора той или иной государственной политики. Типичные проблемы, связанные с определением ожидаемой полезности, – это, например, такие: “следует ли строить атомную электростанцию в районе с повышенной сейсмической активностью?”; “сколько песка и соли должно запасти на зиму управление строительства и эксплуатации дорог?”; “следует ли расходовать 1 млн. долларов на спрямление потенциально опасного участка автострады?”. Такие модели часто применяются в политической практике в качестве прескриптивных моделей (помогающих решить, какие меры следует предпринять), но в дескриптивном моделировании (предсказывающем, что люди будут делать на самом деле), они оказываются фактически бесполезными, поскольку большинство индивидов, принимая свои решения, этим моделям не следуют.
К моделям ожидаемой полезности близки модели оптимизации, которые по большей части были заимствованы политологией из экономической науки и инженерного дела. Почти всякое рациональное поведение включает в себя процессы своего рода минимизации и максимизации. Для определения оптимального поведения существует целый набор сложных математических приемов, которые показали свою полезность как в случаях “борьбы с природой”, когда в качестве “соперника” выступает непредсказуемое будущее, так и в ситуациях конкуренции с малым числом участников, а кроме того, в условиях рынка, когда обстановка определяется очень большим [c.495] числом участников. Ввиду того, что эти модели детально разработаны и носят весьма общий характер, они представляют собой потенциально мощные средства изучения проблем, связанных с политическим поведением.
Совсем новая область математического моделирования имеет дело с компьютерными моделями, связанными с более широкой областью компьютерного моделирования искусственного интеллекта. В то время как большая часть существующих моделей базируется на классических разделах математики – логике, геометрии, алгебре и дифференциальном исчислении, – компьютерные модели основываются на программировании с использованием не уравнений, а алгоритмов (строго сформулированных последовательностей инструкций). Компьютерные модели бывают особенно эффективны при изучении ситуаций, сопряженных с обработкой большого количества информации, например процессов поиска в памяти, обучения, нечисловых процессов.
Наиболее употребительной формой компьютерной модели является экспертная система, в которой используется большое количество установок типа “если ... то”. Экспертные системы проявили свои возможности в точном воспроизведении поступков людей в самых разнообразных областях и особенно привлекательны тем, что позволяют моделировать политическое поведение. Компьютерное моделирование является также основным моментом в изучении особо сложных систем, являющихся относительно новой областью. В этих моделях не только уровни переменных изменяются во времени, но также меняются и лежащие в основе математические процессы.
СЛОЖНОСТИ, СВЯЗАННЫЕ С МОДЕЛИРОВАНИЕМ
Памятуя афоризм Найвена; “Нет такого благородного дела, к которому не пристали бы дураки”, – к использованию математических моделей следует подходить с определенной осторожностью.
Первая и самая общая предосторожность вытекает из поговорки “Что посеешь – то и пожнешь”: модель не может быть лучше заложенных в нее исходных допущений. В частности, и рассуждение, которое, будучи выражено на [c.496] естественном языке, не имеет смысла, не станет более осмысленным, если его перевести в математическую форму. Всегда важно помнить, что математика эффективна только как средство получения логических выводов из исходных допущений, а отсюда и валидность модели зависит не от математического аппарата, а от этих самых допущений.
Бывают случаи, когда для успешного применения той или иной мощной методики необходимо упростить исходные допущения, но даже подобное упрощение должно проходить проверку практикой и здравым смыслом. Если модель основана на ложных исходных допущениях, то это не значит, что и выводы ее будут ложными, но значит, что валидность этих выводов никоим образом не может быть отнесена на счет исходных допущений6.
Самый частый недостаток, с которым приходится сталкиваться в моделях, – это сверхупрощенные исходные допущения. Эйнштейну приписывается утверждение: “Модели должны быть простыми, насколько это возможно... но не более того”. Конечно, упрощение является целью любой математической модели, но только до тех пор, покуда модель как целое продолжает отражать основные процессы, составляющие ее объект. Почти во всех случаях бывают такие ситуации, когда модель в силу своей упрощенности дает сбой. К примеру, модель Ричардсона гонки вооружений не работает в ситуациях, связанных с ядерным оружием, поскольку ядерное оружие, представляя собой весьма действенную и к тому же неограниченную угрозу для противника, не предполагает крупных экономических расходов. В таких случаях важно, чтобы разработчик модели указал, каковы ожидаемые пределы применения модели. Эти ограничения, следует отметить, носят тот же характер, что и в естественных науках: различные химические реакции происходят, согласно предписанию, только при соблюдении немалого числа условий – при определенной температуре, давлении, влажности и т.п.
Модель обязательно должна проходить экспериментальную проверку, если только она не задана исчерпывающим образом с помощью своих исходных допущений. В большинстве случаев в модель входят параметры, подлежащие внешней оценке, или исходные допущения о действительности, подлежащие верификации. Здесь мы видим еще один способ проверки исходных допущений на [c.497] валидность: если модель, будучи корректной, с логической точки зрения, дает ложные результаты, то из этого следует, что ложны, должно быть, ее исходные допущения.
Наконец, выданные моделью результаты должны быть правильно переведены на естественный язык. Обычная ошибка при моделировании состоит в том, что исследователь начинает “в лоб” трактовать результаты, полученные от достаточно узкой модели, тем самым переоценивая общность ее выводов. Это распространеннейшая людская слабость – чрезмерное увлечение своим творением и приписывание ему большего, нежели то, на что оно реально способно; среди математиков это явление известно как “синдром Пигмалиона”. Средства массовой информации также склонны время от времени выказывать интерес к методам моделирования, приписывая им всевозможные чудодейственные свойства. Такой обработке лет десять назад подверглась второстепенная топологическая методика, носящая название теории катастроф и претендовавшая на умение предсказывать резкие изменения в социальных и биологических системах. То же самое имело место и с узким разделом теории вероятностей, известным под названием теории размытых множеств, в рамках которого допускается описание свойств объекта в терминах “очень большой” и “маловатый”, наряду с более простыми “большой” и “маленький”. Предусмотрительному исследователю, вознамерившемуся использовать математическую модель, можно посоветовать предварительно убедиться в том, что результаты, на которые претендует данная теория, действительно выводятся из ее исходных предположений (если принять их на веру) без апелляции к каким-либо дополнительным допущениям и бездоказательным скачкам в рассуждениях.
Суммируя сказанное, констатируем, что математические модели в гораздо большей степени, чем естественный язык, помогают продвинуться в получении сложных выводов из некоторого множества исходных допущений. Кроме того, мир политики, по-видимому, достаточно регулярен, чтобы выводы, полученные от математических моделей, выдерживали эмпирическую проверку на валидность. Эта область знаний насчитывает всего несколько [c.498] десятков лет, но уже сделала за это время огромные шаги вперед, и при этом ограничения ее видятся весьма немногочисленными.
Моделировать политические и социальные явления сложно – обычно намного сложнее, чем моделировать природные процессы; это обусловлено тем, что люди сложнее и непредсказуемее простых атомов. Эта сложность выливается в следующие две импликации, связанные с моделированием политического поведения.
Во-первых, моделирование начинается с более простых и регулярно наблюдаемых типов поведения и лишь затем переходит к более сложным типам. Как следствие, некоторые из моделируемых явлений могут показаться тривиальными, в то время как к “крупным вопросам” сразу подступиться бывает трудно или невозможно. В противоположность этому при интуитивном, неформальном подходе к политическому анализу мы можем в любое время обратиться к любому сколь угодно крупному вопросу. Получаемые при этом ответы, однако, оказываются часто неверными – достаточно бегло припомнить, сколько в истории человечества было войн, кровопролитий, нищеты и нелепых ошибок, чтобы понять, что интуитивные модели редко бывают безупречными. Поскольку мы всегда можем, в конечном счете, прибегнуть к неформальной модели, использование формальных моделей в состоянии лишь улучшить наш политологический анализ.
Во-вторых, математические средства, необходимые для анализа политических проблем, по всей вероятности, должны быть более разнообразными и сложными, нежели те, которые применяются для решения классических естественнонаучных проблем. В частности, модели социальных процессов по сравнению с моделями природных систем, вероятно, будут связаны с большей степенью случайности, а также с обработкой большего количества информации и большего числа переменных. В то же время появление электронных вычислительных устройств позволило иметь дело с формальными системами, куда более сложными, чем те, которые поддаются “ручной” обработке, а в будущем использование компьютеров обещает политологии еще более значительный прогресс. [c.499]
Дополнительная литература
Общие работы по математическому моделированию политических процессов: Abrams R. Foundations of Political Analysis. – N.Y.: Columbia University Press, 1980, – введение в моделирование внутренней политики; Ordeshook P. A Political Theory Primer. – N.Y.: Rontledge, 1992, – рассматривает теорию игр. Rikеr W., Ordeshook P. An Introduction to Positive Political Theory. – Englewood Cliffs (NJ.): Prentice-Hall, 1973; Zinnes D.A. Contemporary Research in International Relations. – N.Y.: Free Press, 1976, – моделирование международных отношений (с примерами); Nichdson M. Formal Theories in International Relations. – Cambr.: Cambridge University Press, 1989, – работа общего методологического характера. Rapoport A. Fights, Games, and Debates. – Ann Arbor: University of Michigan Press, 1974, – эта книга остается классической. Вrams St. The Presidential Election Game. – New Haven (Conn.): Yale University Press, 1978; ibid. Paradoxes in Politics. – N.Y.: Free Press, 1976; ibid. Superpower Games. – New Haven (Conn.); Yale University Press, 1985, – все это учебные вводные курсы. Общий обзор литературы, изданной в последнее, время, можно найти в: Jоnsоn Р., Shгоdt Ph. Analytic Theory and Methodology. // Сrоtty W., ed. Political-Science: Looking to the Future. – Evanston, Ill.: Northwestern University Press, 1992. [c.500]
Учебники по математическому моделированию с политологическим уклоном: Оliniсk M. An Introduction to Mathematical Models in the Social and Life Sciences. – Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1978; Lave Ch., March J.G. An Introduction to Models in the Social Sciences. – N.Y.: Harper & Row, 1978; Bender Ed. A. An Introduction to Mathematical Modeling. – N.Y.: Wiley, 1978; Вurghes D.N., Wооds A.D. Mathematical Modeling in the Social, Management, and Life Sciences. – N.Y.: Halsted, 1979; Archibald G.C, Lipseу R.G. An Introduction to Mathematical Economics. – N.Y.: Harper & Row, 1976, – введение в математическое моделирование экономических процессов. Очень интересна книга по моделированию, представляющая примеры самых разнообразных моделей с математическими расчетами: Сasti J.L. Alternative Realities. – N.Y.; Wiley, 1989.
Динамические модели политического поведения: Huckfeldt R., Kohfeld С., Likens Th. Dynamic Models: An Introduction. – Beverly Hills (Calif.): Sage, 1982; Goldberg S. Introduction to Difference Equations. – N.Y.: Wiley, 1958; хорошим введением в историю вопроса о хаотических моделях является книга: Devаnеу R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. – Menio Park, Calif.: Cunomings, 1986.
Работы по динамическому моделированию международных отношений: Zinnes D.A., Gillespie J.V., eds. Mathematical Models in International Relations. – N.Y.: Praeger, 1976; Zinnes D.A., ed. Conflict Processes and the Breakdown of International Systems. – Denver: University of Denver, 1983.
Работы, вводящие в компьютерное моделирование международных отношений: Deutsсh К.W. et al. Problems of World Modeling. – Cambridge (Mass.): Ballinger, 1977; Guetzkоw H., Valdez J J., eds. Simulated International Processes: Theories and Research in Global Modeling. – Beverly Hills (Calif.): Sage, 1981; Hughes B.B. World Futures: A Critical Analysis of Alternatives. – Baltimore: John Hopkins University Press, 1984.
Учебные пособия по теории игр: Davis M. Game Theory: A Nontechnical Introduction. – N.Y.: Basic Books, 1983; Shubik M. Game Theory in the Social Sciences. – Cambridge, Massachusetts Institute of Technology Press, 1985; Myerson R. Game Theory. – Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1991; Fudenberg D., Tirole J. Game Theory. – Cambridge, Mass.: Massachusetts Institute of Technology Press, 1991; Binmоre K. Fun and Game: A Text on Game Theory. – Lexington, Mass.: D.C. Heath, 1992. Luce R.D., Raiffa H. Games and Decisions. – N.Y.: Wiley, 1957; Williams J. The Compleat Strategyst. – N.Y.: McGraw-Hill, 1954; Ordeshook P. Models of Strategic Choice in Politics. – Ann Arbor., Mich: University of Michigan Press, 1989.
Работы по теории сотрудничества: Sсhеlling Th. The Strategy of Conflict. – Oxford: Oxford University Press, 1960; Micromotives and Macrobehavior. – N.Y.: Norton, 1978; Ordershook P. Game Theory and Political Theory. – Cambridge University Press, 1986; Dixit A., Nalebuff B. Thinning Strategically. – N.Y.: Norton, 1991. Axelrod R. The Evolution of Cooperation. – N.Y.: Basic Books, 1984, – об игре “дилемма заключенного”.
Работы, посвященные моделированию процесса выборов и процесса коллективного принятия решений, взаимосвязям между политическим и экономическим поведением: Frohlich N., Oppenheimer J.A. Modem Political Economy. – Engtewood Cliffs (NJ.): Prentice-Hall, 1978; [c.501] Nemi R., Riker W. The Choice of Voting Systems // Scientific American. – 1976. – Vol. 234. P. 21-27; Enelow J.M., Hinich M.J. The Spartial Theory of Voting. – Cambridge: Cambridge University Press, 1984; Stevens J.B. The Economics of Collective Choice. – Boulder, Colo.: Westview Press, 1993; Dunleavy P. Democracy and Choice. – N.Y.: Prentice Hall, 1991.
Среди книг по компьютерному моделированию следует отметить следующие: Hudson V. (ed.) Artificial Intelligence and International Politics. – Boulder, Colo.: Westview Press, 1991; Benfer R.A., Вrendt E.F., Jr., Fuгbee L. Expert Systems. – Newbury Park, Calif: Sage, 1991; Anderson P.A., Arrow K.J., Pines D. (eds.) The Economy as an Evolving Complex Systems. – Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1988. [c.502]
*
© 1995 by Longman Publishers USA [c.466]
|
|
предыдущая |
|
следующая |
|
оглавление |